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Description

Trouve F, un facteur spectral de P. P est une matrice de polynômes telle que chaque racine de P a une image miroir par rapport au cercle unité. Le problème est singulier si une racine se trouve sur le cercle unité.

sfact(P) renvoie une matrice de polynômes F(z) antistable et telle que

P = F(z)* F(1/z) *z^n

Pour les polynômes scalaires un algorithme spécifique est utilisé. Les algorithmes sont tirés du livre de Kucera.

Exemples

 
// polynôme simple
z=poly(0,'z');
p=(z-1/2)*(2-z)
w=sfact(p);
w*numer(horner(w,1/z))

// exemple matriciel
F1=[z-1/2,z+1/2,z^2+2;1,z,-z;z^3+2*z,z,1/2-z];
P=F1*gtild(F1,'d');  // P est symétrique
F=sfact(P)    
roots(det(P))  
roots(det(gtild(F,'d')))  // Les racines stables
roots(det(F))             // Les racines antistables
clean(P-F*gtild(F,'d'))

// Utilisation en temps continu
s=poly(0,'s');
p=-3*(s+(1+%i))*(s+(1-%i))*(s+0.5)*(s-0.5)*(s-(1+%i))*(s-(1-%i));p=real(p);
// p(s) = polynôme dans s^2, cherche un f stable tel que p=f(s)*f(-s) 
w=horner(p,(1-s)/(1+s));  // transformation bilinéaire w=p((1-s)/(1+s))
wn=numer(w);              // prend le numérateur
fn=sfact(wn);f=numer(horner(fn,(1-s)/(s+1))); // Factorisation et transformation inverse
f=f/sqrt(horner(f*gtild(f,'c'),0));f=f*sqrt(horner(p,0));      // normalisation
roots(f)    // f est stable
clean(f*gtild(f,'c')-p)    //f(s)*f(-s) est égal à p(s) 
 

Voir Aussi